从《墨子》看先秦时期的几何知识
内容摘要：利用《墨子》考察先秦的几何学知识不仅对研究中国早期数学史而且对了解中国思想和文化初成期的面貌有着重要的意义。文章首先分析了《墨子》中有关文献所蕴涵的几何学观念和知识，指出它们的范围、性质和特点以及在墨家整个知识系统中的位置。然后利用这些结果和有关名家的文献及上古时代的数学文献等相参照，分析当时存在的几何学知识及其基本性质和特征，并说明当时发展出相互关联的两类几何知识——注重实际应用的算法式几何知识和注重概念及其关系的理论性几何知识。后一类知识为认识古人如何从经验知识发展出抽象化、理论化的几何学提供了样本。先秦数学的多元化，与当时社会的激烈变革、思想解放、百家争鸣的大环境密切相关，是先秦学术和思想繁荣的重要组成部分。
关键词：《墨子》；先秦学术史；先秦几何知识；中国数学史；名家
作者简介：邹大海，1965年生，湖南新化人，中国科学院自然科学史研究所研究员，主要从事中国数学史和中国早期科学思想史研究。
0 引言
在先秦时期[1]，世界上多个地区文明的发展都出现了一个飞跃，中国在这一时期也出现了诸子百家，创造了各种新的思想和新的知识，奠定了中国思想和文化发展的基础。数学是人类社会发展史中最能体现进步和发展趋势的基本知识门类之一，理解数学的发展对于理解人类文明的进步与思想文化的发展，具有基本的意义。研究先秦数学的发展，对于理解思想文化初成时期的面貌具有重要价值。但由于有关先秦数学的直接材料流传至今的很少，学术界曾长期对先秦数学史认识不够。最近十余年来，这种情况正在发生改变，其中利用出土文献、传世的非数学文献为《九章算术》的溯源具有决定性的意义。而在传世的非数学类文献中，《墨子》（主要是《墨经》）中有关数学特别是几何学的信息尤其值得关注。涉及《墨子》中几何思想的研究文献颇为浩繁，但大都对科学知识的历史发展及其特点缺乏清晰的认识，不仅校释随意，而且喜欢附会近代或西方古代的几何学，真正做严密考证和通盘考察的并不多[2]。笔者曾对相关文献的前贤解释进行了分析和取舍，从全局的角度提出自己的看法，并用以证明先秦数学存在的理论倾向[5]，但对这些知识的性质和特征论述得还不够系统和充分，仍有待深化。本文将在此基础上，对《墨子》中的几何知识做综合性的分析，并根据这些信息讨论先秦时期的几何学知识。
1 《墨子》中涉及几何学的主要文献简释
为便于分析和讨论，下面列出《墨子》中涉及几何学的主要原始文献，并做简单的解释。《墨子》“经上”、“经下”、“经说上”、“经说下”统称《墨经》，这部分文献素称难解，歧见甚多。笔者曾分析各种歧见的得失，在宏观上考虑先秦时期论辩的学术背景，在微观上通过从古人原有的概念出发复原古人的概念之间的联系来理解古人的概念和思想，力图减少跳跃性思维，避免套用近现代或西方科学的概念，防止主观臆断，在校勘上较为审慎，在解释上力图采用最贴近文本的方式。本文所引原文以孙诒让《墨子间诂》[6]为底本，校释（原文被删改的文字外加圆括号，校正后或增补的文字外加方括号）则主要基于笔者的考证结果[5]，但少数地方仍加改进，使解释进一步贴近原文本。《墨经》四篇中“经”和“经说”的文字以条目为基本单位有对应关系，故本文将不同篇中的对应文字以条目为单位置于一处（如“1.1 空间概念‘宇’”即为第1条，以下类推）。
1.1 空间概念“宇”
经上：“宇，弥异所也”。 经说上：“宇，东西家南北”。（[6]，194、206页）
经文说“宇”充满了各个不同的处所。经说讲“宇”包括了东西南北各个方位和说话者所在的地方（“家”）。这里用“宇”字总括整个空间的各个部分和方向。
1.2 厚的概念
经上：“厚，有所大也”。 经说上：“厚，惟[无厚]无所大。”（[6]，191、207页）
经说中“无厚”二字系从高亨意见补[7]。经文说“厚”（有厚）就是有一定的大小。经说从反面说“无厚”就没有一定的大小。这是用“厚”来表示物体的空间量度。
1.3 端的概念
经上：“端，体之无厚而最前者也。” 经说上：“端，是无同也。”（[6]，191、208页）
经文的意思是：一个物体含有很多的构成部分（体），“端”是其中没有量度而处于最边缘的部分。经说文字不好解释。前人有两种处理：一种是把“同”校改为“间”，一种是在“无”字前添“不”。按前一种，经说的意思是“端”是不包含“间”（被夹在中间的空间或物体）的，因而也是最小不能再细分的东西。按后种处理，经说的意思是所有的“端”都是一样的。
“端”有物体的顶端和事物的起始之义，墨家思索事物的本原问题，选用它作为其世界观中一个基本的概念，表示万物的最基本、最细小的构成单元。可见的万物总可以细分成小的部分，而小东西又可细分为更小的东西。古人很容易设想万物的最基本的构成单元是最小的，所以墨家在界定“端”时，着重描述其几何性质：从几何量度来说“端”没有大小（“无厚”），从空间位置来说“端”处于一个物体的起始处或最顶端、最外缘。从人的感知来说，物体的起始端和边缘比较容易显示这种微细的单元，所以在界定“端”时，从“最前者”入手。在描述概念的界定时，《墨经》还没有发展到从外延和内涵两方面都做到恰如其份的程度，在“非半弗著斤则不动”一条中，《墨经》认为一半一半地砍一个长条形物，最后会得到一个“端”，并且随着砍截方式的不同，得到的“端”的位置也不同，不仅可以在原物的两头，也可以在中间（[5]，307-315页）。“端”还被作为光线的投射点（光线既是物质的，也具有几何性质），这与其几何涵义仍存在一致性。
1.4 直的概念
经上：“直，参也”。（[6]，191页）
这一条说明一个东西是否直的，要在它上面任取三个对应位置的点，看它们是否在一条视线上。这是基于视线这种经验和直觉建立起来的一种理性提升。这里经过了一定的几何抽象，并具有一定的默认前提：如一个长方形的物体，取三点时不能把最后的点取在左边、中间的点取在右边、最前的点取在中间，只能是都取左边或都取右边或都取中间。也有可能经文本来就是针对一条线说的。
1.5 平的概念
经上：“平，同高也。”（[6]，190页）
这一条讲：一个东西是平的，它的各处都有相同的高度。这经过一定的几何抽象，不考虑该对象的厚薄，并假设有一个平的东西（可能是地平面）作为它的参照。
1.6 同长的概念
经上：“同长，以缶相尽也。” 经说上：“同，捷与狂之同长也。”（[6]，190、207页）
经文说明：说两个东西同长，是当把它们叠合在一起时，它们正好（“缶”，即“正”）相尽，即两头都不长不短，正好重叠。经说进一步举例说明：门框（“狂”，通“框”）和门内的闩（“捷”）正好有相同的长度。
1.7 中的概念
经上：“中，同长也。” 经说上：“心中，自是往相若也。”（[6]，190、207页）
经说的“心”字可能是衍文。经文的意思是，处于一个形体的中央的中与其（某些）边界点的各连线长度相同。经说是说：从中到边界点的连线相等。经说和经的基本意思一样，但更体现操作性。
1.8 圆的概念
经上：“圜，一中同长也。” 经说上：“圜，规写（攴）[交]也。”（[6]，191、208页）
经文定义圆：有一个中心，它到圆的边缘每一处都具有相同的长度。经说进一步从操作上说明，用规画圆时要画一个整圈，最后要和开始处相交。本条给了圆一个完整的定义，除文字有简缩外，与今天的几何学并无二致。
1.9 方的概念
经上：“方，柱隅四讙也。” 经说上：“方，矩见（攴）[交]也。”（[6]，191、208页）
“讙”可能是“權”（权）之误，训为等或正。据此，经文的意思是：方，犹如一个方形的柱子的形状，它的四个角都相等，或四个角都是直角。另外一种解释是“讙”训为“合”，经文的意思是，方犹如方形柱子形状，它的四个角都能重叠。经说的意思是：用矩围成方形时，矩的相应边要相交。
圆和方是两种典型的基本形状，规矩是两种基本的作图工具，先秦时期人们对此非常熟悉，战国诸子常借用它们来论述各种观点。《墨子》中“法仪”、“天志上”、“天志中”和“天志下”等篇都有提及。如《天志中》：“是故子墨子之有天之，辟（人）[之]无以异乎轮人之有规，匠人之有矩也。今夫轮人操其规，将以量度天下之圜与不圜也。曰：中吾规者谓之圜，不中吾規者谓之不圜。是故圜与不圜，皆可得而知也。此其故何？则圜法明也。匠人亦操其矩，将以量度天下之方与不方也。曰：中吾矩者谓之方，不中吾矩者谓之不方。是以方与不方，皆可得而知之。此其故何？则方法明也”（[6]，128—129页）。这里提到用规、矩来分别判定圆与不圆、方与不方。而之所以能够做这样的判定，则是由于圆的标准和本质（“圜法”）、方的标准和本质（“方法”）弄清楚了。第8和第9条正是墨家对圆和方的标准的本质揭示。下面这一条，则是用方及其本质与标准为例来说明同类事物的共同本质（“法”）。
1.10 方形物的共性
经下：“一法者之相与也尽[类]，若方之相（合）[以]也，说在方。” 经说下：“一，方尽类，俱有法而异，或木或石，不害其方之相（合）[以]也。尽类犹方也，物俱然。”（[6]，200、230页）
经文中“尽”字后从孙补“类”字。经文和经说中“合”字系孙校，原文分别作“召”、“台”，当校正为“以”，读为“似”[3]。经文的意思是：合乎同一个标准（“法”）的事物彼此有相互关系，这个标准为这类中的所有事物所遵循，有如各种方形都相似，因为它们具有方的性质。经说的意思是：方的性质为整个方类中的各个方形所拥有，它们都符合方的标准而各个方形又有所不同，例如有的为木头之方，有的为石头之方，但这不影响这些方的相似性。一个类的标准能为该类中所有事物所遵循，如同方的标准能为方类中的所有事物所遵循一样，同类中的所有事物都具有其共同属性。
1.11 曲直的转化
经上：“儇，
秪”。（[6]，194页）
这一条意义难以弄清。“儇”、“”、“秪”可能分别通“环”（環）、“俱”、“抵”。经文意思可能是：环在地上滚动的时候，环上每一点在靠近地面的位置时都是和地面相抵压、相接触的。抽象地看，就是圆在直线上滚动时，圆上的每一点都与直线上的某一点相重合，这样，当圆滚动一周时，圆和一段直线上的点就建立了一一对应的关系。因此，圆和直线就可以在一定意义上互相转化。
1.12 有间的概念
经上：“有间，中也。” 经说上：“有间，谓夹之者也”。（[6]，192、208页）
经文的意思是：说一个东西有间，是指它的中间位置而言。经说说明“有间”的主体：有间是指夹着一个“间”的东西有间。
1.13 间的概念
经上：“间，不及旁也。” 经说上：“间，谓夹者也。尺前于区穴而后于端，不夹于端与区内。及，及非齐之及也。”（[6]，192、208页）
经文是说：间，是不和夹着它的东西的边缘相接触的。经说的意思是：间是被夹在中间的事物。线（“尺”）在空间形式中的地位是在面（“区”或“区穴”）之前而在点（“端”）之后（因为由点构成线，由线构成面），但（由于这不是从空间位置上讲的，所以）线并不一定夹在点和面之间。“及，及非齐及之及也”是解释经文的“及”不是并排相及的及的意思。这句话可能是后世的注释文字，后来阑入了正文。
1.14 纑的概念
经上：“纑，间虚也。” 经说上：“纑，虚也者，两木之间谓其无木者也。（[6]，192、208页）
“纑”字本是麻缕，这里用来表示空虚的地方。经文的意思是：纑是中间的空虚之处（或空虚的“间”）。经说解释经文中的“虚”：犹两棵树之间没有树木的地方。
周围（或两边）夹着中间（“间”），这中间可以是一个具体的事物，也可以是什么都没有的虚空区域（“虚”）。“纑”就是属于后面这种情况。
1.15 撄的概念
经上：“撄，相得也。” 经说上：“撄，撄，尺与尺俱，不尽。端与端，俱尽。尺与端，或尽或不尽。坚白之撄相尽。体撄不相尽。”（[6]，192、209页）
经文说明：撄是一种让两个东西（当然包括几何形体）相合的操作。经说举例解释：两条不同长度的线（“尺”）放一起相撄时，不能正好互相包涵；两个点（“端”）放一起相撄时，每一点都能被对方涵尽。一条线（“尺”）和一个点相撄时，点被线涵尽而线不被点涵尽。一块既坚又白的石头内的坚、白相撄时，坚和白相互被涵尽。两个事物只有部分重合（“体撄”）则一个不涵尽另一个。由本条及上面第13条的经说，可以推测《墨经》中作为线的尺是没有宽度的。
1.16 仳的概念
经上：“（似）[仳]，有以相撄，有不相撄也。” 经说上：“仳，两有端而后可。” （[6]，192、209页）
经文的意思是：仳（比）的时候要让两条线尽量重合，以比较其大小、长短，这时它们可能有相重合的地方，也有不相重合的地方。经说则说明，仳的对象线必须是有端点的。这种通过叠置来比较两个形体的方法，对于线以外的其他图形也是有用的。
1.17 次的概念
经上：“次，无间而不相撄也。” 经说上：“次，无厚而后可。”（[6]，192、209页）
经文提出一个特殊的排列方式“次”：相邻两个被排列的对象之间没有间隙而又没有相重合的部分。《道藏》本中“后”作“厚”，杨俊光认为经说说明“无厚”（图形）和“有厚”（物体）皆可以是“无间而不相撄”之依次排列的对象[9]。他把“无厚”、“有厚”分别理解为图形和物体是不对的，因图形也可以是有厚的（线有长度，面有面积，立体有体积）。如果按《道藏》本，经说的意思是：不论是无厚还是有厚的东西，它们都可以没有间隙而又不相重合地进行排列。毕沅本作“後”。按这种文字，则经说的意思是：次的对象只能是没有大小的东西，如点（“端”）或没有宽度的线或没有厚度的面。两种可能性都是存在的。但本条精妙处在于它提出了一种观念：可以把“无厚”的东西进行这种既无间隙又不互相重叠的排列。这种思想与西方数学中的不可分量可积思想是一致的[10]。
1.18 有限与无限
经：“穷，或有前不容尺也。” 经说：“穷，或不容尺，有穷；莫不容尺，无穷也。”（[6]，194、206页）
本条以钱宝琮先生的解释（[2]，19页）最为近真。它是讲一维上的有限与无限。经文的意思是：用尺来度量从一点向某个方向延伸的直的线（实际是射线或线段），如果量到某个地方，前面不能容下一尺，那么它是有穷的。经说的意思是：只要向前量到某个地方时前面不能容下一尺，则它是有穷的；如果继续不断地量过去，前面总是能容下一尺，那末，它便是无穷的。有了这个针对一维上的有限和无限的命题，就可以判断二维和三维上的有限与无限。
1.19 广脩相盈的思想
经下：“不可偏去而二，说在见与[不见]俱、一与二、广与脩。” 经说下：“[不]，见不见[不]离，一二（不）相盈，广脩、坚白”。（[6]，196、216页）
本条主要按照高亨的校勘意见（[7]，114页）。经文的意思是：（对于那个同时含有两种表象或事物的东西）不能从它里面去掉两种表象（或事物）中的任何一个，这个说法基于这样一些情况：看得到的和看不到的都渗透在一起，一（物）中含有两种表象（或事物），一块面积含有广和脩（互相垂直的两组线段）两种互相渗透的单元。经说的意思是，看得到的和看不到的分不开，一物体和它的两种表象（或单元）互相充满，一块面积的广和脩、一块（坚硬的白色石头）的坚和白两种要素都相互包含。
1.20 太阳方位
经上：“日中，
南也。”（[6]，191页）
“”同“正”。这条说：太阳在天空轨迹的正中央的时候，它就处在正南方。这条反映方位在几何学上的体现。
1.21 球的性质
经下：“而不可擔，说在抟。” 经说下：“正，丸无所处而不中县，抟也。”（[6]，199、229页）
“擔”通“憺”，安定、稳定之义。“抟”是圆形之义。“丸”即球。“县”是工匠用来确定竖直方位的带绳悬锤。本条讲球的性质，经文是说球总是正的，但不安稳，因为它是圆的。经说是说：球没有哪一处不符合悬锤（线），因为它是圆的[4]。
《墨经》所说球的正，当然是相对于偏而言，这是从几何意义上讲的，但具体如何来衡量怎样为正、怎样为偏，经文没有直接说，而只是用它的形状是圆的来解释为什么它虽然是正的，但不稳定。经说讲球（从各个角度看都）是圆的，因而它全部所处都是符合悬锤（线）的，这可以说是解释了球的正是什么意思。参照前面对圆的界定，可以推测，全部所处都符合悬锤线的意思可能是说无论把球怎样放在平面上，用球的哪一处作支撑点，它的中心和支撑点都在一条铅垂线上。这里墨家考虑球的力学性质，而这又是通过考虑球所具有的前面已经阐释了的圆之本质来认定的，但墨家并没有明确地表达出来。葛瑞汉推测说尽管作者有几何论证的思想，但大概还没有发展出欧几里得式的真正的证明（[4]，435页）。这是没有问题的，因为墨家不光在这里没有把两处知识的逻辑关系展现出来，整个《墨子》也很少用按部就班、非常清晰的逻辑关系来证明命题。
1.22 出入相补的思想
一个由多个较小的块组成的图形，如果其中的若干块移动到另外的位置再组合成新的图形（“出入相补”），那么移动前后图形的面积或体积保持不变。这是古人经常用于解决几何问题的简单原理，数学史界称为出入相补原理。墨子已对此有较深的理解。
《墨子·非命上》：“子墨子曰：‘古者汤封于亳，绝长继短，方地百里，与其百姓兼相爱，交相利，移则分，……昔者文王封于歧周，绝长继短，方地百里，与其百姓兼相爱，交相利，[移]则[分]，是以近者安其政，远者归其德。”（[6]，165—166页）
这段文字的意思是：墨子说：古时候商汤受封于亳这个地方，如果把这块土地截去长的地方补到短的地方，得到边长一百里的正方形。商汤在这块只有百里见方大小的土地上与他的百姓互相敬爱，互利互惠，有多余的东西就分给大家（“移”读为“侈”，过多。）……。从前文王受封于歧周，如果把这块地截去长的地方补到短的地方，得到一个边长一百里的正方形。文王就在这块只有百里见方大小的土地上与他的百姓互相敬爱，互利互惠，有多余的东西就分给大家，所以近处的人顺从他的施政，而远处的人则归顺他的德行。
墨子考虑商汤的封地亳和文王的封地歧周时，把形状不规整的国土通过“绝长继短”，化为正方形，然后看正方形的边长是多少，来考量它们的大小。这里的前提是“绝长继短”的前后保持面积相同。这就是后来刘徽在注《九章》时大量用到的出入相补。
2 《墨子》中几何知识的内容、思想和特点
在中国古代有关科学的文献中，注重对概念进行界定和对所考察的对象之间的逻辑联系进行阐释的不多。《墨子》（主要是《墨经》）算是少有的若干例外之一。不过，上述所举反映几何知识和思想的文献，在《墨子》的相关篇章中的编排，虽然有部分是连在一起的，但总的说来并没有专门放在一起讨论，而是分布在不同的地方，这些几何知识和思想不管是从文献的组织还是从思想的关联上看，都不是独立和专门的几何知识。 尽管这些几何知识和思想是墨家在一个更大的知识系统中展开讨论时表现出来的，但从中可以看出墨家注意描述几何对象的本质属性和逻辑关联，反映了先秦时期几何知识的理论倾向。下面我们以上述对原始材料的解释为基础，对几个主要问题做一较为系统的分析。
2.1 《墨子》中几何知识的范围
上面所列，说明《墨子》中含有丰富的几何知识和思想。首先它界定或说明了“宇”（空间）、“厚”（空间上的量度，大小）、“端”（点）、“直”、“平”、“同长”、“中”（形象中心）、“圆”、“方”、“间”（被夹在中间的空处或东西）、“有间”（夹有“间”这种情况，或必要时可以名词化，表示夹有“间”的东西）、“纑”（被夹住的空处）、“撄”（重合）、“仳”（两个形体通过叠合进行比较）、“次”（相邻对象既不接触又无间隙的排列）、“穷”等概念。还有一些用到而未专门说明的概念和工具，如“尺”[5]、“无厚”、“无间”、规、矩、准、绳等，还有一些命题，如有穷、无穷的判定，日中与方位的关系。这里涉及几何知识的范围比较宽泛，包括以下一些方面：（1）整个空间（宇）；（2）几何性质（直、平、同长、正、抟、中县）；（3）几何量度（厚、无厚、长度单位尺、穷或有穷、无穷）；（4）几何构件（端、尺、广、脩、区或区穴）；（5）几何图形（圆、方、丸，其他如《墨子》城守各篇中还有一些几何形体）；（6）几何位置关系（表示中间位置的中、间、有间、纑、次、日中、正南）；（7）几何操作（撄、仳、秪、绝长继短）；（8）几何工具（规、矩、准、绳、县、表示度量工具的尺）等等。此外还表现了一些看法，如一块面积可以看作由一系列平行的广组成，也可以看作由一系列平行的脩构成。
上述分类不是绝对的，例如“次”、“穷”条也可以列入几何操作，“无厚”、“有穷”、“无穷”可以单列一类——无限，等等。
这些几何知识虽然涉及了较宽泛的范围，但远未完整。事实上，在反映上古时代数学的《九章算术》、《周髀算经》、湖北江陵张家山西汉初年墓中出土的《算数书》和湖南大学岳麓书院近年收购的秦简《数》书中的绝大部分几何概念和计算方法都没有出现在《墨子》中。例如《九章算术》、《算数书》、《数》中涉及了圭田（三角形）、方田（长方形）、箕田（等腰梯形）、邪田（直角梯形）、圆田或周田（圆形）、弧田（弓形）、环田（圆环或两半径所夹圆环之一部分）、宛田（中间隆起的曲面，有人认为是球冠形）等平面图形及其面积计算方法，方堢壔（以正方形为底的四棱柱）、堑堵（底为直角三角形的三棱柱）、阳马（分解堑堵得到的一棱垂直于正方形底的四棱锥）、鳖臑（分解堑堵得到的每一面都是直角三角形的四面体）、方锥（正四棱锥）、圆堢壔（圆柱）、圆亭（圆台）、刍童（一种棱台）、刍甍（一种楔形体）、羡除（一种楔形体）、圆锥等立体图形及其体积计算方法，都未出现在《墨子》中；算书中立圆（球体）在《墨经》中作丸（与公元3世纪刘徽《九章算术注》的说法相同），但《墨子》没有计算其面积体积的方法，城（或垣、沟、堑、渠，都是底为梯形的棱柱）、方亭（正四棱台）在《墨子》中虽然提到实物，但不是从几何形状上说的，没有具体的文字明确涉及其几何指标，更无计算其体积的方法。从社会需要来说，这些形体的面积和体积的计算方法，以及《九章算术》和《周髀算经》中一部分测算事物远近和大小的计算方法大都出现于先秦时期（[5]，132—161页；[12]；[13]），这些方法和相应的几何概念大多属于当时较基本的几何知识，可它们在《墨子》中鲜有涉及。当然，这并不意味着墨家没有相关的知识，他们在其他场合还是有可能会用到这些知识的一部分的。又如点、线、面是最基本的几何概念，《墨子》只专门对“端”（点）做了界定，虽有与线、面分别对应的“尺”、“区（穴）”，但不仅对它们没有专门界定，其涵义或性质也难以根据其在文本中的使用情况得到较为明确的了解，这是很不利于认清几何图形的性质的。《墨子》的撰写是为墨家宣传其在政治、伦理、军事、经济和社会生产、生活等方面的主张服务的，即使其中涉及逻辑和抽象概念较多的《墨经》，包含了较多墨家关于世界万物的基本认识，其中有些本身与这些主张并无明显的直接关系，但作为培养徒属的基础材料，仍从属于这一目标。因此书中虽有各种各样的知识，并有把相近的知识放在一起的意图，但编作者对“相近的知识”的划分并不以后世观念为依据，甚至当时还没有意识到刻意分科组织为成套基本知识的必要性。所以，《墨子》还没有达到让哪个方面的专门知识形成一个有机系统的程度，也没有形成成套的几何概念和完整的几何知识，是不足为怪的。
2.2 《墨子》的几何知识是其整个知识系统中并非独立的一部分
在战国时代百家争鸣与思想解放的大背景下，墨家在社会共有知识和经验基础上通过思辨努力理解世界万物，建立其对世界的基本认识。为此，他们需要利用一些基本的概念和思想，并深入地找出其本质特征和基本联系。由于空间形式（万物的形状、在空间上的联系和性质等）是任何人感知世界的基础和认识万物性质的基本方面，墨家就不可避免地要深入思考空间形式方面的问题，在当时共有几何知识和观念的基础上，参考当时各界人士特别是其他诸子和数学家一些对事物几何属性的刻画，形成一些几何学方面的认识，用以建立其世界观。因此，上节所举材料虽然具有几何方面的涵义，但很多并不限于几何涵义，而是其整个世界观中的一部分。如宇作为现实的整个空间，抽象的几何形体和现实的物体都可以置于其中；端除几何学上的涵义外，也是墨家世界观中构成物质的基本元素；平很可能是以地平面为参照；撄、次和仳的对象也都可以是实体的；规、矩、准、绳、县、尺本身就是实物，中、间（被夹在中间的东西）、有间、纑（间之虚者，即被夹着的虚空）等虽然是针对几何位置关系，但仍与现实事物联系紧密，也可以指实体的对象之间的位置关系；方用方柱的四个角来界定，方和圆都分别用相应的工具矩和规来说明，都与现实物体直接关联；用“容尺”、“不容尺”这样的操作语言来界定有穷和无穷，都以现实事物为基础；说到丸（球）（因为是圆的，所以）无论怎样放都符合悬锤线时，是从实物操作的视角涉及的，等等。以上这些虽可以从几何观念上面来理解，但古人并没有刻意地把几何意义从这些问题的现实的、具体的涵义或更笼统的哲学涵义中分离出来进行讨论。因此，这些几何知识的应用是在一个范围更大的知识系统中进行的，它们还与现实的事物或笼统的哲学涵义有相当紧密的联系。可见，墨家的这些几何知识和观念虽具有抽象的几何内涵，但并没有作为一种独立的专门知识来看待。当然，这并不意味着这些几何知识不具有一定的内在联系（详下）。
2.3 《墨子》中的几何知识是当时墨家的基础知识
《墨子》中几何知识涉及了几何方面一些比较基本的内容和涵义：（一）这些内容只是基础知识，大都并非高级或复杂的内容。如规、矩、准、绳、尺是当时大家都熟习的工具，圆、方、平、直、同长、丸是大家常用且有明确理解的概念，宇、厚、无厚、广、脩、（表示中间位置的）中、有间、间、有穷、无穷等也是当时人们常用的概念。其他如端、（表示线的）尺、区（或区穴）、撄、仳等概念，虽然在其他文献中出现得不多，但也是当时人们观念中已具备的想法（也许还叫别的名称或没有专称）。这些内容算不上复杂，在当时的知识共同体中大都有所涉及。虽然也有些知识可能为墨家所独有或只局限于范围较小的学术圈，如次、有穷和无穷的界定等确是比较高级和深刻的，但这些内容仍以当时大家熟知的知识和经验为直接的背景。由于当时数学中用于定量计算的几何概念特别是计算方法在《墨子》中难得一见，而《墨子》对书中已有几何知识的概念阐释得不全面，也较少清晰地构建它们之间明确的、特别是复杂的逻辑联系，更没有有意识地用来系统地解释很多的事物之理，如果再考虑到墨家注重实践和辩论，《墨经》只是训练墨徒的基本材料，墨家弟子在接受教育后有一部分会有所精进，那么从泛泛的理解来说，说这些知识是当时墨家的基础知识是可以的。（二）墨家使用的这些概念和思想主要是一些相对于一般知识而言很基本很本质的东西。这些知识大多是人们在考虑几何问题时经常要涉及的，但理解得不一定深，想得不一定清楚，或未能较多地从具体事物中抽象出具有普通意义的属性来。墨家则不仅继承和深化了已有的对事物几何属性的本质描述，而且对一些只停留在经验层面的几何知识进行了理性提升。他们用较明确的语言描述具体事物的一些较为抽象的本质属性，并部分地显示了较为抽象的概念之间的联系，在理论抽象方面超越了当时一般士人的理解，这有利于理论化的思考（参考下文）。
2.4 《墨子》中几何知识中的理论性
上面说到战国时代百家争鸣的学术背景，促进了墨家对世界万物基本问题的思考。由于空间形式是万物存在和运动的基本形式，人们要深入地了解万物的本质，就必须努力了解万物在空间形式上的共性和特征，因此，墨家对世界万物的思考必然会促使他们在刻画有关几何概念的本质属性和几何对象的本质联系方面下一些功夫。所以在墨家的整个知识系统中，其几何知识含有抽象化和理想化的成份[6]，具有一定的深度和较高的理论水平。
（一）墨家注重形式化的表述方式。《墨经》的“经上”篇和对应的“经说上”篇，以一系列概念为关键词分条目展开讨论。“经上”把需要说明的概念置于句首，大都采用“X，Y也”的格式进行（只有很少的几条无“也”字），有的是对概念的界定或说明，有的形成了一个判断和命题（也对概念做了说明）[7]。“经下”篇和对应的“经说下”篇提出了一系列的看法和命题，对一些命题大都采用先提出判断、再给出条件（个别先给出要讨论的对象，再与后面的文字连成一个整体作为一个认识）的 “X，Y，说在Z”的格式（只有很少条目例外，但也可能是传抄错误造成的）。这种形式化的表达方式有助于更明确、更规范地表达知识，建立抽象概念之间的联系。当然，明确的理论知识的形成还受对所考察对象的认识水平、形成知识的具体作法等的影响，而且在对不同方面的内容形成理论知识时，其工作难度、形成的知识的形态和所达到的水平也会由于具体情形的不同而存在差异。但形式化和规范化的表达方式，无疑有助于使知识更明确，更具一般性。
（二）墨家对几何涵义的刻画注重从抽象性和一般性方面揭示其本质。如对宇的界定很具有一般性，“端”作为墨家世界观中的万物的基本构成元素，墨家着重从度量和位置上对它进行界定；撄、次、仳这些操作也主要从抽象几何形式而不是实物的角度来考虑，中、有间、间、纑虽可以指具体的物体的位置关系，但这种位置关系则完全是从几何学的位置关系上讲的；有穷和无穷虽以具体操作的方法来界定，但这种操作显然不限于现实的情况，而带有理想的、形式化的性质。方虽用方柱来说明，但落脚点显然不在方柱而在于四个角重合（或相等），具有抽象的性质；秪（环和地面相接触）也是从抽象的理想角度来说的，几何形式的涵义很浓厚；“日中，正南也”中日的大小已被忽视，而只考虑位置和方向；第21条利用丸的几何性质来解释其力学上的不稳定性。至于第22条通过“绝长继短”把国土化为方形，虽不具备形式化的特征，但这在现实中完全不可能，只能是理想化的抽象的几何操作。墨家对同长、中、方、圆、直、平、有穷、无穷等的描述，虽有现实的背景（特别是前5个更是如此），但相当好地刻画了其抽象化的本质属性，具有普遍的意义，除对平的界定外，在今天看来仍不失为严谨。墨家懂得出入相补原理。撄、仳是要通过叠合图形对它们进行比较，为出入相补原理提供了基本的操作方式，第22条中墨子把不规则的国土通过分划后重新组合成方形，体现了出入相补原理的应用。由于对国土不可能真正地进行分割再移补，所以这种出入相补是假想或在图上进行的[14]，反映了墨家的抽象思想。第18条中墨家建立了一个有限的标准量与有限量和无限量之间的联系，用于对有穷和无穷的判定，与现代数学中仍在使用的阿基米德公理有异曲同工之妙[15]，既深刻又简明。
（三）《墨子》中一些与几何相关的概念之间是存在一定联系的。《墨经》同一条的经文和经说一般是从不同的角度来说明同一概念的，有时还会涉及相关联的不同概念，它们的联系建立在同一概念框架之上，如第2条的“厚”和“无厚”建立在是否有“所大”的基础之上，第18条的“无穷”和“有穷”则建立在是否前面一直能“容尺”的基础之上。《墨经》的不同条目之间，或它们与《墨子》其他相关内容之间，则更能显示这种联系。如第3条“端”的概念建立在“无厚”的基础上，而在第2条中“厚”又建立在“有所大”的基础上；第6条定义了“同长”，而第7条的“中”建立在“同长”的基础之上，第8条的“圜”又建立在“同长”和“中”的基础上，而“中”和“圜”的界定又为解释丸的不稳定性服务，并为《大取》篇“小圜之圜與大圜之圜同”（[6]，246页）之强调大小圆之间具有共同性提供了基础。第12、13条的“有间”和“间”有相互说明的关系，第14条的“纑”又是建立在第13条“间”的基础之上，且在原文中第12—14条被合适地连续编排着；第15条界定了“撄”，并用第3条的“端”为例来说明，第16条又用“撄”、第3条的“端”来解释“仳”，第17条用“撄”来解释“次”，这3条在原文中也被合适地连续编排着。第9条用方形柱子的四个角为例来界定了方，并以工具矩加以说明，而第10条又用不同的方具有共性来说明“一法者之相与也尽类”。第18条使对有穷和无穷的判断建立在一个标准尺度的基础之上。另外，墨家的端是无厚的，他们的线（尺）概念可能也是无厚的（因据第15条，端和尺进行重叠操作时，“或尽或不尽”），第17条的“次”说明无厚的东西可以无间隙而又不重合地排列在一起，因此墨家很可能认为面可以由一系列平行的线排列而成（同样线可以由一系列的点排列而成，立体可以由一系列的面排列而成），并且这种排列是以次（相邻两者之间紧挨着而又不重合）的方式进行的。基于这种观念，一块面既可以视为由一系列并行的广所构成，又可以视为由一系列并行的脩构成，这样广和脩就互相包涵和渗透了（“广脩、坚白”相盈，见第19条）。等等。总之，墨家的这些概念和思想超越了具体实物和经验的层次，并形成了关联性，在理论化方面超越了一般的水平。
但是，我们也不要过高地看待墨家几何学知识的系统性。因为:（一）上面说到《墨子》中的基本的几何知识是不完整的，有不少很基本的几何知识和概念并没有包括在内。《墨子》中的几何知识偏重于定性而不重于定量，尤其是缺少算书中的大量计算方法，更没有展示这些理论化知识与算书中的计算方法的联系。（二）《墨经》对形式化表达方式的运用还不太精致，“经上”篇中有的条目读者很难区分是对概念的描述还是给出一个命题，如上引第20条固然可以理解为太阳在中天（“日中”）的时候处在正南方向，而理解为所谓“日中”是指太阳在正南方向亦非完全不合理。“经下”篇中“说在”所领句子的内容有时也与前面的关键命题并无紧密联系。如上引第10条关键的命题是“一法者之相与也尽类”，“若方之相以也，说在方”是说明关键命题的例子，它整个地处于从属地位，其中的“说在方”只是作为例证的一部分用来说明“方之相以也”的，而不是直接用来说明关键命题的。（三）《墨子》对一些概念和命题的描述有很多不够完善和明确的地方，抽象程度也不很高，还带有经验的痕迹，甚至有的还非常明显。如第9条对“方”的界定建立在用实物举例的基础之上；第2条“厚”的界定中“有所大”的主体（到底是长度、面积、体积还是厚度）不明确，所以后来惠施提出“无厚不可积也，其大千里”的命题来立异；其他如第4条中“参”、第5条的“同高”、第6条的“缶相尽”、第7、8条的“同长”、第11条的“秪”、第12条的“中”、第15条的“相得”、第17条的“无间而不相撄”等的主语都没有出现，这种情况虽然有时候可以根据语境来判断，但往往有相当的随意性。如第7条的“中”是指何种图形的中，《墨经》完全没有交代，“自是往相若也”中的“往”是往何处也不说明，这就留给读者很大的想像空间。如果往的地方是所有的边界点，那么这个图形只能是圆周、球面或其一部分；而如果往的地方只是某些特殊的地方，例如直线形的顶点，则这个图形可以是多种多样的，如任意的三角形、任意的等腰梯形、正多边形、长方形、长方体的、正多面体等，大凡圆内接多边形、球内接多面体都符合条件。又如第21条“丸”的“正”、“无所处”、“中悬”按怎样的标准来认定，都不明确，没有揭露球的诸如过球心的任意平面截得一个大圆、球心到放置点的半径为铅垂线这样比较容易看到的几何性质。类似的情况也见于其他一些条目。这种描述上的问题，与古人使用语言的习惯有关系，在有的时候纯属语言表达问题，作者心中是清楚的；在有的时候作者的心里则并不是那么清楚。而满足于不清晰、不明确的表述，既会使作者错过深化问题的机会，也不利于后人的继承与发展。（四）尽管上文已说明《墨子》中几何知识里的不同概念和思想具有关联性，很多情况下也把相关的内容罗列在一起，但也存在分散的情形，特别是墨家没有把这种联系进行系统的、清楚的揭示；而且有些本来较易进行系统化的地方《墨子》也没有去做，甚至还出现了一些不协调和疏漏之处。如：（1）在原文中，关于“平”的第5条、关于“同长”的第6条、关于“中”的第7条、关于“厚”的第2条、关于“日中”的第20条、关于“直”的第4条、关于“圜”的第8条和关于“方”的第9条等8条是连续编排的。这几条的几何意义比较明显，放到一起是合适的。其中第7条紧接在第6条之后，第8条在第7条之后，因为后者用到前者，所以这种次序是大体不错的。但第8条与第7条中间隔了与它们的关系并不紧密的第3条，则显得不甚合理。第5条中的“同高”显然以第6条的“同长”为基础，但次序却正好相反。而这八条与关于“端”的第3条、关于“有间”的第12条、关于“间”的第13条等几何意义较明显的三条又被“倍，为二也”条分割开来。这些颇为明显的不合理次序，是容易调整的。类似的情形在《墨经》中并不少见。（2）在第10条解释方的共性时没有用第9条对“方”的具体界定来说明“一法者之相与也尽类”；对“间”和“有间”虽各有一条加以说明，但第17条对“次”的界定中的“无间”却与之关系并不密切。（3）“端”在第3条中指形体的边缘，但在《墨经》“非半弗著斤则不动，说在端”一条讲分割一个长条形物体时，随着分割方式的不同，最后得到的端位置也不同，不仅可以在两头，还可以在形体的中间（“前后取则端中也”）（[5]，307—315页）。这固然与其世界观中把端作为事物的基本构成单元的观念相一致，但从形式和表述上说，其间存在不协调性是显然的。（五）点的概念在《几何原本》中为线、面、体等各种图形定位，发挥了非常基本而有效的作用。单就没有大小这项意义来说，《墨经》中的“端”也具有相同的意义，并被作为图形和事物的部分，但其定位功能没有被充分的认识，以至在第4条（“直”）、第5条（“平”）、第6条（“同长”）、第7条（“中”）、第8条（“圜”）、第11条（“儇”）、第17条（“次”）、第20条（“日中”）等实际用到“端”这一观念的地方，都没有用到这个概念来进行描述。对基本概念“尺”（线）、“区（穴）”（面）等的本质的揭示就更少了。《墨子》没有刻意让基本概念发挥作用，不仅使它们的性质和意义得不到充分的认识，也使《墨子》的几何知识错过了拥有一个基本生长点的机会[8]。（六）《墨子》虽有一些关于逻辑推理方式的描述，我们相信在其几何学知识中会有意或无意地用到（[5]，368—372、389—391页），但没有证据表明他们刻意严格地（特别是按形式化的方式）用于他们的几何学知识。因此，这些概念之间的关联性还是比较松散的。总之，从总体上说，《墨子》中几何知识的理论性还比较初步。它对几何概念本质属性的提炼还不够精到、尚带有明显的经验痕迹，它对基本概念的关键作用也认识得不够深入。在对这些几何知识的编排上，《墨子》主要是对条目进行有意识的罗列，而不重于对知识结构的编织；编作者虽然意识到推理的重要性，但没有刻意用较严格的推理方式来明白地揭示不同几何知识点之间的联系而使之成为关联性强的知识系统。
《墨子》（特别是《墨经》）与其他绝大多数文献相比，在注重抽象概念、逻辑推理，关注科技等方面，显得非常突出。但墨家的学说从秦汉以来除很少的时间内有非常少的学者关注外，长期不受重视，只是中国近代以来由于落后挨打导致国民的自信心与自尊心受到伤害，《墨子》才重新受到特别的关注。近现代很多学者经常用这一文献来说明中国曾经在抽象理论和科技方面也曾有过非凡的建树。在数学方面，古代西方世界以古希腊（特别是其几何学）为代表，一脉相承地深刻地影响到当代的数学，因此，古希腊的几何学就成为研究《墨子》中数学知识的参照。有的学者以为《墨子》中有一些可以用西方古典及近代数学解释的内容，就过高地估计了《墨子》中数学（主要是几何学）的水平，甚至有学者说“墨家在数学方面的成就远不止于平面几何，还涉及数学方面的许多领域，但因《墨经》原文训诂为难，又因《墨经》本身颇多脱落，实难作正确全面的估价。但就现有能作训诂的经文论，墨家在数学方面的成就超出当时的世界水平，或者说，是当时世界的先进水平”[16]，“一部《墨经》无论在自然科学哪一方面，都超过整个希腊，至少等于整个希腊”[17]。这是极不妥当的[9]。因为判断两个文明中某项科学的水平高低，是个科学问题，应持客观求实的态度，不能带有民族感情。尤其对于理论性的几何学，不能因为两个文明有部分近似概念和命题就说水平相当，或其中一个文明有的几何概念在另一个文明中没有、或具有更宽泛的意义就断定前者比后者高明；而不应忽视以下一些重要方面：几何概念的界定是否有合适的内涵与外延，对概念的抽象性和普遍性提炼到何种程度，几何知识的各个部分之间以何种方式建立了多少在多大程度上清晰、准确的联系，这些知识的广度和深度如何[10]。从这种角度看，《墨子》中的几何知识，虽然在抽象性和理论性方面超过同代的其他诸子，甚至在其后的中国古代传统文献中也鲜有堪与比肩者，其个别概念或命题比之古希腊几何学亦有独到之处[11]，但整体上仍属于迈向理论几何学的初级阶段，距离整套的几何学理论还相去甚远。
在古希腊，数学家继承了古埃及和古巴比伦的几何学知识，并发扬光大，把从实际中发端的几何学知识和观念进行抽象化和普遍性的提炼，注重理论分析，使之成长为一个自成体系的理论化学科。古希腊从泰利士开始，经毕达哥拉斯及其学派、巧辩学派、埃利亚学派、柏拉图、欧多克索斯、亚里士多德、欧几里得等众多名家和学派的努力，使几何学发展成为形式严整、内容极为丰富的学科，特别是欧几里得总结前贤的思想和成就，于公元前300年左右写成《几何原本》，通过抽象的概念、普遍性的公理、公设，利用演绎逻辑进行推导，一环套一环严格地建立了众多数学定理和命题（大多数是几何学方面的），形成了一个内容丰富的完整的理论系统，反映了此前古希腊几何学的成就和理论深度，并为此后科学的发展树立了公理化体系的典范[21，22]。书中虽或有不尽如人意之处，但其几何学不论从内容的广度、深度，概念的抽象化和清晰化程度，还是组织的系统性，论述的严格性，命题和定理的复杂性和丰富性，都远远超过《墨子》（含《墨经》）甚至现存所有中国传统文献中的几何知识和思想。古希腊的几何学在欧几里得之后又由阿基米德、阿波罗尼奥斯等提升到一个新的高度，特别是阿基米德的触角已经伸到近代的微积分[22，23]，这绝非《墨子》（含《墨经》）所能望其项背的。
总之，《墨子》中的几何学知识，是作为其世界观中与几何学有关（或者说蕴涵有几何学观念）的基础知识来呈现的，具有一定的抽象性，显示出一定的内在联系，体现了一定的理论水平。这对研究中国数学史和中国科学思想史有着重要的意义。另一方面，从世界数学史和数学发展的逻辑来看，由于《墨子》中的几何学知识和思想，比一般经验知识水平高，但又没有达到成熟理论的程度，且这些知识的不同部分还存在差异，这些几何知识和思想也为我们立体地考察数学在全世界的发展，特别是不同早期文明中数学发展的特点，以及人类关于空间形式的认识如何从经验、常识、宽泛的哲学观念向清晰的、抽象的、系统的理论方面发展提供了重要的研究样本，其学术价值是不容低估的。
3 从《墨子》看先秦时期的几何学知识
前面说到《墨子》的几何学无法和古希腊相比，但这并不意味着先秦时期的几何只限于《墨子》的水平[12]。有文献反映当时的几何学还有更多更高的成就，虽然从抽象化和理论化的角度来说，也仍没法与古希腊的几何学相比。
《庄子·天下》篇说：“相里勤之弟子，五侯之徒，南方之墨者，苦获已齿邓陵子之属，俱诵墨经而倍谲不同，相谓别墨，以坚白同异之辩相訾，以觭偶不仵之辞相应，以巨子为圣人，皆愿为之尸，冀得为其后世，至今不决”[24]。根据这一记载，墨家在分裂以后，各派都还诵读《墨经》，《墨经》是墨家各派共同学习的基础知识的汇编，带有教程的性质。上面的讨论也说明《墨子》的几何学知识（主要是《墨经》中与几何有关的概念和命题），只是墨家门徒所要学习的基本知识，它们既不代表墨家在几何学方面的总体水平，因而更不能代表先秦数学在理论方面所达到的最高成就。相反《墨经》的教材性质，既说明它会在一定程度上取材于当时的几何理论，也说明先秦学术界在几何学理论方面有更高的成就和更丰富的知识。
《墨经》既然是人人“俱诵”的教程，非常简略，所以《墨经》中的理论性、抽象性较强的概念和命题，只是当时存在的更多几何知识中被筛选出的一部分基础知识，还有更多的知识在书中没有得到反映。再者，《墨经》中的几何基础知识为墨徒所学习之后，自然会有一些墨徒在这方面有所精进，提出很多新的、水平更高的成果。另外，在当时百家争鸣的背景下，这些成果也会直接或间接影响到其他学派的学者，从而产生更多的几何知识。只是由于文献残缺，我们现在还不知道这些成果达到了什么程度。可以肯定的是，名家的惠施、辩者（《庄子·天下》篇的说法[13]）受到影响，有所发展或反动。下面我们举几个例子：
（1）《墨经》中有圆和方的定义，并认为它们可以用规和矩作出。但辩者根据墨家已有的圆、方定义，得出不同的结果。由于圆、方都由点（“端”）构成，而这些点又是“无厚”（量度为零）的，那么用规、矩作出的圆、方，其点有大小、其线条有粗细，因此不可能完全符合于墨家的定义，因此辩者提出一个惊世骇俗的命题“矩不方，规不可以为圆。”[14]（[24]，479页）
（2）《墨经》认为端是无厚的，是其自然观中构成万物的基本单元，同时墨家还说按不同的方式著斤一个长条物最后会在不同的位置得到端。辩者发现墨家的思想存着矛盾，提出“一尺之棰，日取其半，万世不竭”（[24]，479页）的命题与墨家立异：一尺的棍子，每天取走一半，不论到哪一天，余下的都是长度（第n天后余下的长度为
尺）大于无厚（没有长度）的一节短棍，而不是无厚的端。墨家忽视分割步骤的无限性而强调无限分割的结果，辩者强调无限分割过程在具体操作上的不可完结性，从而使墨家对分割过程的无限性的跨越遇到了难以克服的困难。从墨家到名家关于无限观念的思想衍变，古希腊也出现过类似的情形，并成为欧多克索斯创立规避无限过程的穷竭法的重要推动力（[20]，22—46页）。可惜没有史料可以反映辩者的这种思想对先秦数学上产生了什么影响。
（3）墨家定义厚时，只说“有所大”，而无厚则是“无所大”。那么“有所大”、“无所大”的主语是什么，是指长度、面积还是体积而言，墨家的定义中并没有涉及。因此这个笼统的概念就容易被别人抓到把柄。惠施很可能正是看到这里存在的漏洞，提出“无厚不可积也，其大千里”，说明无厚（线或面）虽然不能积成有厚的（面或立体），但无厚本身却能大到千里。在惠施看来，线就其面积（或宽度）来说、面就其体积（或厚度）来说，都没有具体的数值（量度都为零），但线就其长度来说、面就其面积（或长度、宽度）来说都可以大到千里。另外，既然每一个对象都无厚，无厚和无厚相加到一起还是无厚，再继续相加仍为无厚，所以说“无厚不可积也”（[24]，476页）。
（4）抽象地看墨家“儇，秪”的命题，可以认为是圆环在直线上滚动时，处处与直线相切。这样，环上的每一点都和直线上某一点重合。那么，当环转动一周时，圆环上的所有点都与直线上的相应点重合，这意味着圆环的所有点都可以转移到直线上，亦即圆可以转化为一条直线段。按照这种观点，连环的每一个环都可以转化为一条直线段，那么连环就解开了。所以惠施说“连环可解也”（[24]，477页）。这里的“可”意味着不是实际的操作而是指理论上的可能性，体现了惠施从更抽象的角度来考虑问题的方式。辩者“轮不蹍地”（[24]，478页）的命题则从运动的角度与墨家立异：轮在地上滚动时，如果轮蹍地，那么它与地面总有一个接触点既在轮上又在地面上。辩者认为，对于每一个接触点，一方面，它在轮上，所以必然随着轮子的运动而运动；另一方面，它在地上，所以必然又是不动的。这样一来，只要假设轮蹍地，就会产生同一点就既动又不动的矛盾。因此辩者就由反证得出了“轮不蹍地”这样一个惊世骇俗的结论。由于当时人们对于事物的动静，不论是对时刻还是时间段，都总是以位置是否移动来衡量，而未发展到以速度是否为零来作为考察指标，因此，它们得出这样违背常识的结论是自然的，别的学者不能驳斥而又不愿意接受辩者的高级错误也是自然的（[25]；[5]，402—404、421—429页）。
（5）《公孙龙子·坚白论》中的客方说：“石之白，石之坚，见与不见，二与三，若广修而相盈也。其非举乎？”[26]这和墨家的思想是一致的。客方是公孙龙所反对的对象，于此还可看出《墨经》的命题或其流变亦为公孙龙所注意并作为他批判的对象了。不过，《公孙龙子》没有对“广修”相盈作出反应，也许是现存文献脱落。当然也有可能是公孙龙认为广脩相盈和“坚白”相盈是两回事，不必在这篇主要论述坚白的文章里涉及。但广脩相盈的思想在墨家之后也已为人们所注意则是无疑的。因此，这种思想应是当时人们所讨论的对象。
名家文献绝少保存至今，上面的例子只是现存文献中一些结论性命题和我的诠释（[5]，396—431页）。我的解释基于以下几个基本方面的考虑：（1）以文献中已有概念及其涵义为基础和出发点，按最贴近文本的方式进行，减少跳跃性，避免先入之见和过度阐释。（2）在墨、名二家关系上，《墨经》为墨家分裂后各派所俱诵，说明至少它的主体部分成于墨家分裂之前，在公元前4世纪中叶偏早（[27]；[5]， 223—261页），与惠施的早年相接。（3）《庄子·天下》篇（[24]，461—481页）中载惠施与辩者相訾应，同时也提及学习《墨经》的各派墨家互相争论攻击，却没有提到墨家批评惠施、辩者，说明这几派墨家并没有刻意去批评他们，更早的《墨经》编作者更不可能去批评他们。而在相关问题上，与惠施、辩者等有很强的立异心态不同，墨家的意见主要在立而不在破，即使偶有针对性，也只是墨家在内部进行“能谈辩者谈辩”（[6]，257页）时所表示的意见，或者是针对更早的名家邓析。（4）惠施及其后的辩者的命题，揭示了科学思想中的一些关键问题，如果墨家要批评的话，应该针对这些关键点。而事实上惠施、辩者的立异和批评的姿态要明显得多，其意见基于更抽象的概念，以古代的知识难以驳倒。因此按从《墨经》编作者到惠施及其后辩者的顺序来解释是符合历史发展的逻辑的。（5）《庄子·天下》记载，惠施“徧为万物说”，提出10个论题（后人称为“历物十事”），并以此诱导一大群辩者，辩者也提出21个论题（后人称为“辩者二十一事”），他们热烈地辩论，乐此不疲，“终身无穷”。他们的讨论，与众不同，“弱于德，强于物”，“能胜人之口，不能服人之心”。《天下》的记载说明两方面的问题。第一，名家关心世界万物，并有擅长，只是对社会人伦的看法不见容于世，但他们的看法必有基于当时能够用语言表达的概念和认识的论证（[5]，218—223、392—444页）。这种论证虽或与当时人们的部分常识或感觉有不一致之处，“不能服人之心”，但反对者讲道理讲不过他们，无法反驳，因此名家的论证必定有很强的逻辑性。第二，当时参与讨论的人很多，且热情洋溢，可谓声势浩大。所以上面所述惠施及辩者的几何知识和思想，决不是他们的几何观念的全部，而只是一部分，他们肯定会有更多的涉及几何学的成果。由于上面的讨论已经说明惠施及其后的名家在墨家基础上就某些问题有所推进，更注意从抽象概念的角度来讨论问题，所以当时必定会有一些理论性较强的几何知识超出现存文献之外，不仅墨、名二家会有，其他诸子也会有，特别是数学家、天文历法家应该在理论性几何方面会有一些新成果。
我国现存的上古数学著作以《九章算术》为代表，它汇集了从先秦到西汉实用算法式数学的主要成就。据研究，《九章算术》的绝大部分方法是先秦时期就已经存在的。其中有各种面积、体积公式，勾股定理及各种测量方法等几何成果。不过，《九章算术》只记录有方法而没有记录推导。由于很多方法非常复杂，很难想像单凭经验或猜测能获得正确的结论。这曾让一些学者纳闷。但是，如果我们联系先秦时期《墨子》中所反映的几何学知识，这就不难理解了。墨家不仅有很多几何概念和命题，而且用到出入相补原理，并有进行出入相补的操作方式[14]。另外，《墨子》中有“次”的排列方式、广和脩相盈的思想，因而肯定会有面积由一系列线组成的思想，也会有立体由一系列面积合成的思想（这种思想用西方的数学史术语可以叫做“不可分量可积”，是所谓卡瓦列利原理的基础）。有了这两种思想和方法，古人借助画图的方法和立体模型这样直观的方式，再利用《墨经》中已有反映的推理模式（不限于几何而是在更大范围内适用），就足以推导出《九章算术》中那些数学公式（[5]，385—391、498—508页）。从约公元前186年墓中出土了一部《算数书》，它是一部取材于更早时代若干数学著作的撮编之作。书中有大量面积和体积计算的方法，这与其他简牍材料（特别是睡虎地秦简）、传世文献相结合，正好可以说明《九章算术》的主要方法出于先秦时期[12，13，28，29]。
先秦几何学知识有两类，一类是理论性的几何学知识，另一类是实用算法式的几何学知识[5]。对第一类，在上述《墨子》和关于名家的文献中有直接的反映，《周髀算经》和《算数书》中也有些痕迹（[5]，372、489—493、498—508页；[14]；[30]；[31]；[32]）[15]，上面的论述说明当时的这类知识还应该包括若干以这些文献中已有的理论化知识为基础或与之相关的理论化的知识，以及一些与几何量计算方法有关的讲究推导的几何概念、命题和方法，当然还可能包括其他理论性较强的知识（尽管在有幸保存至今的少量文献中难以得到反映）。而通过《墨子》与《算数书》、现存西汉后期编定而绝大部分方法已在先秦出现的《九章算术》及其他文献对照，我们也能证明后一类几何知识曾有高度的发展[12，13，28]。这两类知识大体上能区分开来，但都以现实问题为基础发展而来，它们又是互相影响、彼此促进的，特别是在理论推导与几何量计算方法的结合部更是如此。3世纪时刘徽注《九章算术》、赵爽注《周髀算经》，都用到不少推导和理论知识（[2]，57—60、64—70页；[33]），其中作为其方法和思想或其基础的出入相补原理、不可分量可积思想、无限分割等正好和《墨子》与名家的几何观念相衔接，这说明在先秦时期创造几何量计算方法的时候，确实存在相应的理论推导，只是未保存到后来（[5]，501—508；[34]）。但是，现在所知上古时代算法式几何知识的概念和命题，在现存文献中所反映的墨家和名家的理论化几何知识中极少能见到明确的表述；而且上述理论化几何知识中的概念和命题也很少在算法式数学著作中有明确的应用，所以先秦时期对几何量的计算方法的推导虽然存在，但这种推导在表述上是不完备的，其形式性和严格性很可能在总体上是比较弱的；同时先秦时期抽象性较强的理论化几何知识，虽比现存文献所载要丰富和深入一些，但也不大可能在整体上有较大的提升，特别是在系统性上更是如此，因为形成抽象的系统性知识所需要的推动力(不论是来自数学家的自发还是社会需要和思想界的要求),在中国先秦时代确实没法同古希腊相比。
先秦时期数学发展的多样化，丰富了当时的思想和文化，是当时学术繁荣、思想和文化多元化的一个重要组成部分。现存材料所反映出的先秦时期的两种几何知识，虽然彼此间存在着联系，但由于两种知识的形态、概念差异比较大，因此这种联系主要是若隐若现的，明确清晰的联系不会很多。这种情形与当时不同诸子之间互相影响的方式也具有相似性。
春秋战国时期的中国与古希腊的几何学的进步，也反映了轴心时代不同文明的学术思想的一些共同特点。当时两地都处于一个社会变革阶段，学术争鸣、思想解放，都促成了数学的大发展。人们都具有开阔的视野，极力理解周围广大的世界，因此在反映空间形式的几何学方面都有大的发展，并注重揭示其中具有抽象性和普遍性的本质内涵，因而在几何理论方面都较前代有大的进步。但是两个文明的数学也有明显的不同。古希腊的数学完成了从满足实际需要到形成抽象理论的飞跃，主要在几何概念与命题的抽象化和定理的证明上有重大进展，并形成非常严格的公理化体系，而在实用算法方面发展得不充分（尽管在几何量计算方法方面也非常发达），这与古希腊在城邦制度下整个思想领域对理论和体系的追求远胜于理论之用于实际的情形是一致的。先秦时期的中国数学则在实用算法方面有相当充分的发展，在从实际和具体的知识提升到抽象理论方面也有一定程度的进步，但不太充分。先秦时期的几何学知识在抽象化、形式化的理论方面所达到的水平，虽然比现存关于墨家和名家的文献等材料所呈现的程度要高一些，但我们看不到它曾经形成了严整体系的痕迹，当时应该离完成新领域的全面突破有比较大的距离，更不用说形成了公理化的系统。这与当时诸侯争霸、社会急需解决生产、管理等问题有关，也与在此种社会背景下形成的思想文化在总体上关注政治、人伦、经济、军事等实际问题，有创造、有理论而不追求严整体系的整个状况也是一致的。不过，比起后世来说，战国时代中国几何学的理论倾向还是比较发达的。但是，随着大一统专制帝国的兴起和巩固，先秦时代丰富的多元文化和思想被整合成相对单一的格局，在先秦时期已经产生但尚未充分发展起来的理论化数学知识又很快衰微了，其中专注抽象概念及其联系的部分几乎一蹶不振，而其中与计算有关的部分也主要通过融入算法的发现和推导中而在不同的历史时期或隐或显、或强或弱地有所体现，但从未呈现出系统、完整、严格、清晰的数学理论。于是，实用算法式数学就占据了数学的绝大部分阵地，决定了中国传统数学的基本走向。这与中国思想文化发展的基本态势仍保持着一致性。
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注释：
[1] “先秦”有广义和狭义两种用法，广义指秦国统一中国以前，狭义指春秋战国。本文取狭义。
[2] 其中比较值得重视的是钱宝琮、李约瑟（Joseph Needham）和葛瑞汉（Angus Charles Graham）的工作。早在20世纪30年代初，钱先生即讨论了《墨经》中与几何相关的条目，并注意到名家在某些方面的进步[1]。后来他又有所修正和改进[2]。李约瑟（Joseph Needham）从世界数学史的角度来探讨，认为《墨经》中有关条目包含有理论几何学的萌芽，但中国古代数学家从未发展出独立于数量、纯粹以公理、公设为基础进行证明的理论几何学[3]。葛瑞汉对《墨经》进行了全面的校订、解释和翻译，并对其中有关几何的条目做了集中的讨论[4]。但他们的校释还不太令人满意，在总体上的讨论远未达到系统、全面的程度，也有一些不准确之处。
[3] 此处参考吴毓江意见（[8]，488—489页）而有所调整。
[4] 这个解释参考了吴毓江（[8]，487页）和钱宝琮[11]的意见，但更注意贴近文本。
[5] “尺”在《墨经》中有几个涵义：度量长度的工具——尺，一尺的长度，线。
[6] 葛瑞汉（Graham）较早注意到《墨经》中点、线和空间等几何概念的抽象化和理想化的性质，并从《墨经》的整个知识系统中理解它们，但没有全面系统的讨论（[4]，301—316页）。
[7] 一种流行的观点认为“经上”是对概念进行定义，这是不确切的。事实上，不仅《墨经》的绝大部分条目达不到现代对概念下定义（合适地揭示内涵和外延）的要求，而且有的条目本身也很难说是要去界定一个概念。如本文所讨论的“儇， 秪”条是提供一种判断，“有间，中也”条是对“有间”的位置做出说明，尽管也能反映句首概念的一些涵义。
[8] 在中国古典数学中，用点（或其组合）定位和命名几何形体的方式一直没有受到重视（像《测圆海镜》以汉字命名点并以其组合表示图形的作法，是很罕见的例外），影响了中国古代几何学特别是理论几何学的发展。
[9] 已有学者对此表示过不同意这种意见，但它为不少论著[18，19]不加辨析地引用，仍有相当的影响。
[10] 有的概念很难给出简洁而准确的定义，这时通过使用这种概念的场合所反映的它与其他概念的联系来体现其内涵和外延。
[11] 如《墨经》以承认存在无穷为前提给出无穷和有穷的判定方式，《几何原本》继承欧多克索斯的穷竭法，避开无穷概念，建立了任意两个有限量之间的关系，成为现代数学中所谓阿基米德公理的刍形（[5]，386-387页；[15]；[20]）。
[12] 李约瑟已注意到墨家在《墨经》以外还有其他演绎性几何的可能性，但认为如果有这些几何也保持着一个学派的神秘而对中国数学的主流很少有甚至没有影响（[3]，94页）。实际上墨家虽然组织严明，但热衷于宣传其政治、伦理和社会主张，其几何知识对其他学派（特别是名家）产生了影响，并且对中国古代数学家获得几何计算公式产生了积极的影响（[5]，392-434、498-508页）。本文后面将论及这一问题。
[13] 《庄子·天下》篇对惠施和辩者是分列的，并没有像有些论著所说的把惠施视为辩者之一员。
[14] “矩不方”承下省“可以为”三字，完整的意思是“矩不可以为方”。
[15] 详细的讨论见邹大海：《先秦数学的两种倾向》，2004年8月北京“《算数书》与先秦数学国际学术研讨会”论文。
本文曾于2009年5月12日在北京举行的“数学机械化国际研讨会暨庆祝吴文俊院士90华诞学术会议”上宣读。
