作者简介：王玉峰（1980年— ），男，北京大学哲学系在读博士，外国哲学专业。
现在流传下来而广为人所知的所谓“芝诺悖论”共有九个：四个是关于运动的，三个是指向“多”的，一个是反对空间观念的，另一个则试图表明感觉是不可靠的。[1]这些芝诺“悖论”长久以来就引起了人们的广泛兴趣，其中尤以关于所谓运动的那四个悖论最为著名。而芝诺反对运动的那些论证其原著已经佚失，现有资料来自亚里士多德在《物理学》中的论述，主要是该书第六卷第九章。[2]根据亚里士多德的记载，这四个所谓关于运动的悖论分别是：两分法，阿喀琉斯，飞矢不动和运动场。[3]
亚里士多德在其《物理学》中分别反驳了芝诺，指出了芝诺的这些“悖论”都是“错误”的。后来的大多数学者们基本上是继承了亚里士多德的看法，而近代以来也有一些数学家和逻辑学家们借助于当时的数学和逻辑学成就，主要是微积分理论，来试图“解决”这些“悖论”。表面上看来，这些学者们似乎是“解决”了这些“悖论”，可是带有悖谬性的是，正是通过这些“悖论”的“解决”，芝诺由一个哲学家变成了一个没有常识的人。
而在本文中，笔者则通过对芝诺关于所谓运动的这四个“悖论”的重新诠释，来试图恢复芝诺作为一个严肃的哲学家的本来面目。
根据这四个悖论的内容，我把它们分成两组来分别加以论述，那就是两分法和阿喀琉斯一组，飞矢不动和运动场一组。我将表明芝诺的这两组悖论分别是针对当时在数学和物理学中流行的错误“前提”的，所以他的这些“悖论”没有什么所谓的“逻辑”错误。
一、两分法与阿喀琉斯
根据亚里士多德的记载，所谓的“两分法”是指，一个位移的事物在达到目的地之前必须先抵达一半处，可是这种一再二分的一半是为数无限的，因此不可能走完为数无限的路程，因此运动不存在。[4]有人认为这和中国古代哲学中的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的道理是一样的。[5]
而“阿喀琉斯”的悖论意思是说：“一个跑得最快的人永远追不上一个跑得最慢的人。因为追赶的人必须首先跑到被追的人的出发点，因此走的慢的人必然永远领先。”[6]亚里士多德说，“这个论证和第一个论证，即二分法的论证是一回事，分别只在于：在分划那个量时这里不是用的二分法。”[7]弗里曼用现代数学来解释这个论证：设慢跑者为快跑者速度的1/10，快者跑10单位长度，慢者只能跑1单位长度，按10：1列式为：1/10+1/100+1/1000+……+1/n，这样只能无限接近，不能赶上。[8]
对这两个“悖论”，亚里士多德认为芝诺的这些想法都是错误的。针对“两分法”，亚里士多德说，“芝诺在有一个论证里犯了错误。他主张一个事物不可能在有限的时间里通过无限的事物，或者分别地和无限的事物相接触。须知长度和时间被说成是‘无限的'有两种涵义，并且一般地说，一切连续事物被说成是‘无限的'都有两种涵义：或分起来的无限，或延伸上的无限。因此，一方面，事物在有限的时间里不能和数量上无限的事物相接触，另一方面，却能和分起来无限的事物相接触，因为时间本身分起来也是无限的。因此通过一个无限的事物是在无限的世界里而不是在有限的时间里进行的，和无限的事物接触是在无限数的而不是在有限数的现在上进行的。因此，既不能在有限的时间里通过无限的量，也不能在无限的时间里通过有限的量；而是：时间无限，量也无限，量无限，时间也无限。”[9]
也就是说，在亚里士多德看来，芝诺是混同了以上两种不同的无限概念，有限的时间固然不能穿越无限延展的距离而达到终点，可是有限的时间却可以越过一定量度（它是可以被无限分割的）中无限数的点而达到终点，因为这有限的时间也是同样可以被无限分割的。[10]
对于“阿喀琉斯”悖论，亚里士多德认为，由于它和“二分法”的论证是一回事，所以“对这个论证的解决办法也必然是同一个方法。”[11]亚里士多德说，“认为在运动中领先的东西不能被追上这个想法是错误的。因为在它领先的时间内是不能被赶上的，但是，如果芝诺允许它能越过所规定的有限的距离的话，那么它是可以被赶上的。”[12]
因此我们可以看到，芝诺的这两个悖论是以时空的“无限分割”为前提，亚里士多德对这两个悖论的解决方式是：承认了时空的这种无限可分性，但是通过区分了两种不同的“无限”，而主张在有限的时间里通过有限距离的无限的点是可能的。因为有限的时间和距离本身都是可以无限分割的。
近代以来的数学家和逻辑学家们用微积分的方式来解决这两个悖论的方法和亚里士多德的方式是很相似的，他们都是首先承认了时空的某种无限可分性，然后再对这个问题加以处理。且不管数学家们求极限和积分的运算是否正确，我们的一个问题是：这是否是芝诺提出这两个“悖论”的原意？这些学者们是否理解了芝诺“悖论”的意图？
在我看来，亚里士多德和近代以来的微积分学者们所说的这些固然是“正确”的，因为这些显然可以被我们的经验所直接证明。可是由于他们误解了芝诺“悖论”的“意图”，所以他们对这些“悖论”的解决本身乃是无的放矢的！下面我讲试图说明这一点。
众所周知，芝诺是哲学家巴门尼德的学生及好友，而根据柏拉图在《巴门尼德篇》中的记载，芝诺不仅仅原意在友谊方面和巴门尼德相契，而且在他的著作中也愿意和他保持一致。也就是说芝诺的学说是以另外一种方式来论证他的老师的观点。因此，要想了解芝诺悖论的意图，我认为必须要首先了解巴门尼德的一些基本思想。在巴门尼德看来，存在是一种不生不灭，连续的和绝对完满的“一”。[13]在这里需要特别注意的是，在巴门尼德那里，这个绝对完满的“一”乃是“有限”的，他曾把之比喻为“滚圆的球体”。因此，“无限”反而表示不完满和有缺陷的意思。也正是如此，绝对的无限乃是根本不存在的东西，任何有限的事物也不可能“无限可分”。所以根据巴门尼德的哲学，“无限”和“无限可分”乃是一些违反“自然”的概念。
芝诺悖论必须要放到巴门尼德哲学的这种背景中来思考。第欧根尼.拉尔修认为芝诺是辩证法的创始人。芝诺的这种辩证法和苏格拉底的方法是很相似的，他们都是从一个假定的“前提”出发，然后推导出一个明显荒谬的结论，或者推导出两个正相反对的结论，以此来否定那个原先假定的“前提”。对芝诺的这些“悖论”因此也必须要放到这种“辩证法”的思想方式中来把握。
在说明了以上两点后，我们下面就可以来看一看芝诺的“两分法”和“阿喀琉斯”悖论了。毫无疑问，这两个“悖论”是以时空的某种“无限可分”性为前提的，并且它们的结论也明显是荒谬的，一个运动的物体当然可以经过整个路程的一半而到达终点，阿喀琉斯当然可以追上乌龟。根据“辩证法”的思路，这两个明显荒谬的结论显然是在质疑事物的“无限可分”这个前提。因此，芝诺在此根本不存在什么逻辑矛盾，如果一个有限的距离真的可以“无限分割”，即所谓“日取其半，万世不竭”的话，那一个运动的物体当然永远不可能达到终点，阿喀琉斯当然永远不可能追上乌龟。因此，问题就在于：“无限分割”这个观念是否是正确的或它是否是符合自然的？这才是芝诺这两个悖论的真实意图。而显然，在这里芝诺是通过“另一种方式”和他的老师巴门尼德在思想上保持了一致：存在是“有限”的完满的，不存在什么广延上的“无限”，也不存在什么在量上的“无限可分”。
芝诺“两分法”和“阿喀琉斯”的悖论除了捍卫他的老师的观点外，似乎也是直接针对当时毕达哥拉斯学派的某些观点的。比如十九世纪后期法国研究科学和哲学史的泰纳利（PaulTannery）就认为亚里士多德误解了芝诺，芝诺并不是否认运动的可能性，他只是说运动和多不相容。芝诺的真正目的是反对毕达哥拉斯学派关于线，面，体是无数的点的总和这种观点。[14]
我个人认为，显然泰纳利的观点更加符合芝诺悖论的原意和初衷。芝诺并不是要否认运动，他只是在质疑某些数学家们的一些错误“前提”。
二、飞矢不动与运动场悖论
所谓的“飞矢不动”悖论是指，由于飞矢在其运动中的每一时刻都占据着一个固定的位置，因此飞矢在每一个时刻都是静止不动的。亚里士多德说，“这个结论是因为把时间当作是由“现在”合成的而引起的，如果不肯定这个前提，这个结论是不会出现的。”[15]
而“运动场”悖论，根据亚里士多德的记载是这样的，“跑到上有两排物体，大小相同，数量相同，一排从终点排到中间点，另一派从中间点排到起点，它们以相同的速度作相反的运动，芝诺认为可以说明：一半的时间可以和整个时间相等。”[16]而亚里士多德认为，“这里的错误在于他把一个运动的事物经过另一个运动的事物和以同速度经过同大小的静止事物所花的时间看作是相等的，事实上这两者是不相等的。”[17]
亚里士多德说的这些固然“正确”，可是我认为对于芝诺悖论我们必须要从其“辩证法”的角度来思考才能领会其原意。我之所以把“飞矢不动”和“运动场”悖论放到一组来考察，那是因为在我看来这两个悖论可以看作是芝诺对“运动的相对性”的质疑或批评。
先让我们来看一下所谓“飞矢不动”这个悖论。之所以会造成“飞矢不动”这种不符合经验和理性的悖谬，那是由于某种“参考系”所造成的。也就是说，是因为人们首先是用一个静止的“参考系”来衡量一个运动着的物体，这样才会造成“飞矢”相对于那个静止的参考系而言，在每一时刻都占据一个所谓的“位置”，从而“不动”这种悖论。因此，这是以一种外在的标准（参照系）来衡量一个内在状态（运动）所带来的后果。可是，如果一个“运动”的物体它的“运动”是由其内在的本质状态来决定的话，那么就不会出现这种情况了。
“运动场”悖论也是由这种“参照系”的不同而引起的。假设AAAA为大小相等的不动的一排事物，BBBB位于由AAAA的中间到起点处，CCCC位于终点到AAAA的中间处，A,B,C大小数目都相等，并且B,C的速度相等。于是当BBBB和CCCC做相反方向的运动时，第一个B到达最末一个C的同时第一个C也到达了最末一个B处。这时第一个C已经经过了所有的B,而第一个B只经过了A的一半，因此一半的时间和全部的时间相等。[18]
我们可以看到，之所以会出现“一半的时间等于全部的时间”这种悖论，那是由于同一个运动的物体BBBB同时以静止的AAAA为参照系，又和运动着的CCCC相参照而出现的情况。这个悖论虽然较“飞矢不动”较为复杂一些，但是道理是一样的，它们都是在质疑能否以一个（或两个，多个）外在的参照系来衡量一个事物由其内在本质所决定的某种状态（运动）。如果“运动”仅仅是“相对”的话，那么显然就会出现芝诺所指出的这些“悖论”，因为同一个运动对于不同的参照系会呈现出完全不同的情况。
因此，显然芝诺的“飞矢不动”和“运动场”理论并非在单纯的否定事物的“运动”，而是在质疑“运动的相对性”这种观点。
小结：芝诺“悖论”给我们的启示和意义
在数学和物理学迅速发展，尤其是“微积分”和“相对论”在其各自领域取得了巨大成就的今天，再来看看这些“芝诺悖论”似乎别有一番感受。“无限”，“无限分割”这些观念真的是“符合自然”的吗？“运动”真的是“相对”的吗？重新思考两千多年以前“芝诺悖论”所提出的这些问题似乎对于当今的科学而言仍然不算过时。
芝诺悖论似乎也在让我们思考：哲学家和一般的数学家，也包括物理学家们的区别在哪里呢？柏拉图在《理想国》中的那个说法我想仍然是非常有道理的，那就是辩证法家是从“前提”上升到“原理”，而数学家们则是从“前提”下降到“结论”。[19]因此哲学家们总是具有一种一般的科学家所不具有的“前提批判”精神。
如果说芝诺是历史上第一位“辩证法”家的话，那么他通过这些“悖论”无疑很好地诠释了只有哲学才具有的那种“辩证”精神。在我看来，芝诺是一位头脑清楚而严谨的思想家，而不是一个没有常识的人，而最好的证明就是他的这些所谓“悖论”。
参考文献：
柏拉图，《理想国》，郭斌和，张竹明译，商务印书馆，1997年。
亚里士多德，《物理学》，张竹明译，商务印书馆，1997年。
汪子嵩，范明生，陈村富，姚介厚，《希腊哲学史》，第一卷，人民出版社，1988年。
赵敦华，《西方哲学简史》，北京大学出版社，2001年。
W.K.C, Guthrie, A History of Greek Philosophy, Volum eⅠ,Ⅱ,Cambridge University Press,1975.
Anthony Gottlieb, The dream of reason: A history of philosophy form the Greeks to the Renaissance , New York and London, 2002.
注释：
[1]See Anthony Gottlieb, The dream of reason: a history of western philosophy from the Greeks to the renaissance ( New York and London: W. W. Norton ＆ Company, 2002), p.66.
[2]参见汪子嵩，范明生，陈村富，姚介厚，《希腊哲学史》，人民出版社，1988年，第一卷，第703页。
[3]参见亚里士多德，《物理学》，张竹明译，商务印书馆，1997年，239b5-240a19。
[4]参见亚里士多德，《物理学》，239b10-13,263a5-11。
[5]参见汪子嵩，范明生，陈村富，姚介厚，《希腊哲学史》，人民出版社，1988年，第一卷，第705页。
[6]参见亚里士多德，《物理学》，239b14-16。
[7]参见亚里士多德，《物理学》，239b20-21。
[8]弗里曼，《苏格拉底以前的哲学家》，第162页。转引自汪子嵩，范明生，陈村富，姚介厚，《希腊哲学史》，人民出版社，1988年，第一卷，第710页及其注释2。
[9]参见亚里士多德，《物理学》，233a23-35。
[10]参见汪子嵩，范明生，陈村富，姚介厚，《希腊哲学史》，人民出版社，1988年，第一卷，第706页。
[11]参见亚里士多德，《物理学》，239b26。
[12]参见亚里士多德，《物理学》，239b27-29。
[13]参见赵敦华，《西方哲学简史》，北京大学出版社，2001年，第17-18页。
[14]参见汪子嵩，范明生，陈村富，姚介厚，《希腊哲学史》，人民出版社，1988年，第一卷，第690页。
[15]参见亚里士多德，《物理学》，239b31-33。
[16]参见亚里士多德，《物理学》，239b33-36。
[17]参见亚里士多德，《物理学》，240a1-4。
[18]参照亚里士多德，《物理学》，240a5-12。
[19]参见柏拉图，《理想国》，511A-E。
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